QC - Kontrola obliczeń kwantowych za pomocą operatorów jednostkowych, interferencji i splątania

Zdjęcie Sagar Dani

Świetny. Właśnie zakończyliśmy część 2 dotyczącą Qubit (bit kwantowy - podstawowy element składowy obliczeń kwantowych). Jak więc możemy to kontrolować? W przeciwieństwie do obliczeń klasycznych nie stosujemy operacji logicznych ani zwykłej arytmetyki na kubitach. W obliczeniach kwantowych nie ma „instrukcji while” ani „instrukcji rozgałęzienia”. Zamiast tego opracowujemy operatory unitarne do manipulowania kubitami z zasadą interferencji w mechanice kwantowej. Brzmi fantazyjnie, ale w rzeczywistości jest bardzo prosty. Przyjrzymy się koncepcji operatorów jednolitych. Na marginesie, przyjrzymy się jej związkowi z równaniem Schrodingera, więc nie projektujemy koncepcji przeciw naturze. Wreszcie patrzymy na splątanie, mistyczne zjawisko kwantowe.

Bramy kwantowe

W klasycznych komputerach stosujemy podstawowe operatory logiczne (NOT, NAND, XOR, AND, OR) na bitach, aby budować złożone operacje. Na przykład, poniższy jest sumator bitów z przeniesieniem.

Komputery kwantowe mają zupełnie inne podstawowe operatory zwane bramami kwantowymi. Nie rekompilujemy istniejącego programu C ++ do działania na komputerze kwantowym. Oba mają różnych operatorów i obliczenia kwantowe wymagają różnych algorytmów, aby z nich skorzystać. W obliczeniach kwantowych chodzi przede wszystkim o manipulowanie kubitami, ich zaplątanie i pomiar. Wróćmy do kuli Blocha. Koncepcyjnie operacje obliczeń kwantowych manipulują Φ i θ superpozycji, aby przesuwać punkty wzdłuż powierzchni kuli jednostkowej.

Mówiąc matematycznie, superpozycją manipuluje się za pomocą operatora liniowego U w postaci macierzy.

Dla pojedynczego kubita operatorem jest po prostu macierz 2 × 2.

Równanie Schrodingera (opcjonalnie)

Natura wydaje się naiwnie prosta! Matematyka jest po prostu algebrą liniową, której uczymy się w szkole średniej. Pomiędzy pomiarami stany są manipulowane przez operatory liniowe za pomocą mnożenia macierzy. Po zmierzeniu superpozycja zapada się. Jak na ironię, liniowość jest dużym rozczarowaniem dla fanów science fiction. Jest to ogólna właściwość dynamiki kwantowej. W przeciwnym razie możliwa jest podróż w czasie lub podróżowanie szybciej niż światło. Jeśli zaczniemy od tego operatora liniowego (a dokładniej operatora jednostkowego), możemy wyprowadzić równanie Schrodingera, kamień węgielny mechaniki kwantowej w opisie ewolucji stanów w mechanice kwantowej. Z przeciwnej perspektywy równanie Schrodingera kończy liniowość natury.

Źródło

Tutaj możemy przepisać równanie Schrodingera jako

gdzie H jest pustelnikiem. Pokazuje liniową ewolucję stanów w przyrodzie.

Równanie jest liniowe, tzn. Jeśli zarówno ψ1, jak i ψ2 są poprawnymi rozwiązaniami dla równania Schrodingera,

jego kombinacja liniowa jest ogólnym rozwiązaniem równania.

Jeśli | 0⟩ i | 1⟩ są możliwymi stanami układu, jego kombinacją liniową będzie stan ogólny - taka jest zasada superpozycji w obliczeniach kwantowych.

Jednolity

Nasz świat fizyczny nie pozwala wszystkim możliwym operatorom liniowym. Operator musi być jednolity i spełniać następujące wymagania.

gdzie U † jest transponowanym, złożonym koniugatem U. Na przykład:

Matematycznie operator unitarny zachowuje normy. Jest to cudowna właściwość utrzymania całkowitego prawdopodobieństwa równego jedności po transformacji stanu i utrzymania superpozycji na powierzchni kuli jednostkowej.

Jeśli spojrzymy na poniższe rozwiązanie równania Schrodingera, natura przestrzega tej samej zasady jednolitej. H jest pustelnikiem (transponowany złożony koniugat pustelnika jest sam w sobie). Pomnożenie operatora przez transponowany złożony koniugat równa się macierzy tożsamości.

Poniżej znajduje się przykład H, w którym występuje jednolite pole magnetyczne E₀ w kierunku Z.

Zastosowanie operacji jednolitej do | ψ⟩ powoduje obrót w osi Z.

Ale jakie jest prawdziwe znaczenie jedności w prawdziwym świecie? Oznacza to, że operacje są odwracalne. Dla każdej możliwej operacji istnieje inna, która może cofnąć akcję. Podobnie jak oglądanie filmu, możesz go odtwarzać do przodu, a natura pozwala jego odpowiednikowi U † na odtwarzanie wideo do tyłu. Rzeczywiście możesz nie zauważyć, czy odtwarzasz wideo do przodu, czy do tyłu. Prawie wszystkie prawa fizyczne są odwracalne w czasie. Kilka wyjątków obejmuje pomiar dynamiki kwantowej i drugą zasadę termodynamiki. Jest to bardzo ważne przy projektowaniu algorytmu kwantowego. Wyłączna operacja OR (XOR) w klasycznym komputerze jest nieodwracalna. Informacje zostały utracone. Biorąc pod uwagę wartość wyjściową 1, nie możemy rozróżnić, czy oryginalne dane wejściowe to (0, 1) czy (1, 0).

W obliczeniach kwantowych operatory nazywamy bramkami kwantowymi. Projektując bramę kwantową, upewniamy się, że jest ona jednolita, tzn. Będzie kolejna brama kwantowa, która może przywrócić stan do pierwotnego stanu. Jest to ważne, ponieważ

jeśli operator jest jednolity, można go zaimplementować w komputerze kwantowym.

Po udowodnieniu jednolitości inżynierowie nie powinni mieć problemów z jej wdrożeniem, przynajmniej teoretycznie. Na przykład komputery IBM Q, złożone z obwodów nadprzewodzących, wykorzystują impulsy mikrofalowe o różnej częstotliwości i czasie trwania do kontrolowania kubitów wzdłuż powierzchni kuli Blocha.

Aby osiągnąć jednolitość, czasami wysyłamy część danych wejściowych, aby spełnić to wymaganie, jak ta poniżej, nawet jeśli wygląda na zbędną.

Zobaczmy jedną z najczęstszych bram kwantowych, bramę Hadamarda, którą operator liniowy definiuje się jako następującą macierz.

lub w notacji Diraca

Kiedy zastosujemy operatora do stanu spinu lub spinu, zmieniamy superpozycje na:

Jeśli zostanie zmierzone, oba mają równe szanse na rozkręcenie lub rozkręcenie. Jeśli ponownie zastosujemy bramę, wróci do pierwotnego stanu.

Źródło

tzn. transponowanym koniugatem Hadamarda jest sama brama Hadamard.

Kiedy zastosujemy UU †, przywraca oryginalne wejście.

Dlatego brama Hadamarda jest jednolita.

Obliczenia kwantowe opierają się na interferencji i splątaniu. Chociaż potrafimy zrozumieć matematykę obliczeniową bez zrozumienia tych zjawisk, pokażmy to szybko.

Ingerencja

Fale zakłócają się konstruktywnie lub destrukcyjnie. Na przykład moc wyjściową można powiększyć lub spłaszczyć w zależności od względnej fazy fal wejściowych.

Jaka jest rola zakłóceń w obliczeniach kwantowych? Przeprowadźmy eksperymenty.

Interferometr Macha Zehndera (źródło)

W pierwszym eksperymencie przygotowujemy wszystkie przychodzące fotony do stanu polaryzacji | 0⟩. Ten strumień spolaryzowanych fotonów jest równomiernie rozłożony przez pozycję B rozdzielacza wiązki pod kątem 45 °, tzn. Rozdzieli wiązkę na dwa światła spolaryzowane prostopadle i opuści osobnymi ścieżkami. Następnie używamy zwierciadeł, aby odbić fotony na dwa osobne detektory i zmierzyć intensywność. Z perspektywy mechaniki klasycznej fotony dzielą się na dwie osobne ścieżki i równomiernie uderzają w detektory.

W drugim powyższym eksperymencie stawiamy kolejny detektor wiązki przed detektorami. Intuicyjnie dzielniki wiązki działają niezależnie od siebie i dzielą strumień światła na dwie połowy. Oba detektory powinny wykryć połowę wiązki światła. Prawdopodobieństwo, że foton dotrze do detektora D₀ przy użyciu czerwonej ścieżki 1, wynosi:

Całkowita szansa, że ​​foton osiągnie D₀, wynosi 1/2 z 1 ścieżki lub 0 ścieżki. Oba detektory wykrywają więc połowę fotonów.

Ale to nie pasuje do wyniku eksperymentu! Tylko D₀ wykrywa światło. Modelujmy przejście stanu dla rozdzielacza wiązki z bramą Hadamarda. Tak więc dla pierwszego eksperymentu stan fotonu po splitterie jest

Po zmierzeniu połowa z nich będzie | 0⟩, a połowa z nich będzie | 1 |. Wiązki światła są równomiernie podzielone na dwie różne ścieżki. Nasza brama Hadamard będzie pasować do klasycznych obliczeń. Ale zobaczmy, co się wydarzyło w drugim eksperymencie. Jak pokazano wcześniej, jeśli przygotujemy wszystkie fotony wejściowe na | 0⟩ i przekażemy je do dwóch bram Hadamarda, wszystkie fotony będą ponownie | 0⟩. Zatem podczas pomiaru tylko D, wykrywa wiązkę światła. Żaden nie osiągnie D₁, dopóki nie wykonamy żadnego pomiaru przed obydwoma detektorami. Eksperymenty potwierdzają, że obliczenia kwantowe są prawidłowe, a nie obliczenia klasyczne. Zobaczmy, jak zakłócenia odgrywają tutaj rolę w drugiej bramie Hadamarda.

Jak pokazano poniżej, komponenty o tej samej podstawie obliczeniowej konstruktywnie lub destrukcyjnie zakłócają się wzajemnie w celu uzyskania prawidłowego wyniku eksperymentu.

Możemy przygotować wiązkę fotonów wejściowych na | 1⟩ i ponownie wykonać obliczenia. Stan po pierwszym rozdzielaczu różni się od pierwotnego o fazę π. Jeśli więc zmierzymy teraz, oba eksperymenty wykonają te same pomiary.

Jednak przy ponownym zastosowaniu bramki Hadamarda wytworzy się | 0⟩ i wyprodukuje | 1⟩. Zakłócenia dają złożone możliwości.

Pozwól mi zrobić jeszcze jeden zabawny eksperyment, który ma bardzo znaczący wpływ na cyberbezpieczeństwo.

Jeśli umieścimy kolejny detektor Dx za pierwszym rozdzielaczem, eksperyment pokazuje, że oba detektory wykrywają teraz połowę fotonów. Czy zgadza się to z obliczeniami w mechanice kwantowej? W poniższym równaniu, gdy dodajemy pomiar po pierwszym rozdzielaczu, wymuszamy załamanie w superpozycji. Wynik końcowy będzie inny niż jeden bez dodatkowego detektora i będzie zgodny z wynikiem eksperymentalnym.

Natura mówi nam, że jeśli wiesz, jaką ścieżką podąża foton, oba detektory wykryją połowę fotonów. W rzeczywistości możemy to osiągnąć za pomocą tylko jednego detektora na jednej ścieżce. Jeśli nie wykonano żadnego pomiaru przed oboma detektorami, wszystkie fotony trafią do detektora D₀, jeśli foton jest przygotowany na | 0⟩. Ponownie intuicja prowadzi nas do błędnego wniosku, podczas gdy równania kwantowe pozostają zaufane.

Zjawisko to ma jedną krytyczną implikację. Dodatkowy pomiar niszczy pierwotną interferencję w naszym przykładzie. Stan systemu zmienia się po pomiarze. Jest to jedna z kluczowych motywacji kryptografii kwantowej. Możesz zaprojektować taki algorytm, aby haker przechwytywał (mierzył) wiadomość między tobą a nadawcą, mógł wykryć takie wtargnięcie niezależnie od tego, jak delikatny może być pomiar. Ponieważ wzór pomiaru będzie inny, jeśli zostanie przechwycony. Twierdzenie o braku klonowania w mechanice kwantowej twierdzi, że nie można dokładnie powielić stanu kwantowego. Dlatego haker nie może powielić i ponownie wysłać oryginalnej wiadomości.

Poza symulacją kwantową

Jeśli jesteś fizykiem, możesz wykorzystać zachowanie interferencyjne w bramkach kwantowych, aby zasymulować tę samą interferencję w światach atomowych. Klasyczne metody działają z teorią prawdopodobieństwa z wartościami większymi lub równymi zero. Zakłada niezależność, co nie jest prawdą w eksperymentach.

Mechanizm kwantowy twierdzi, że ten model jest błędny i wprowadza model o liczbach złożonych i ujemnych. Zamiast używać teorii prawdopodobieństwa, wykorzystuje model interferencji do modelowania problemu.

Więc co to za korzyść dla niefizycznych? Zakłócenia można traktować jako taki sam mechanizm jak operator jednolity. Można go łatwo wdrożyć w komputerze kwantowym. Matematycznie operator jednostkowy jest macierzą. Wraz ze wzrostem liczby kubitów uzyskujemy wykładniczy wzrost współczynników, z którymi możemy się bawić. Ten jednolity operator (ingerencja w oko Fizyka) pozwala nam manipulować wszystkimi tymi współczynnikami w jednej operacji, która otwiera drzwi do masowych manipulacji danymi.

Splątanie

Ogólnie naukowcy uważają, że bez splątania algorytmy kwantowe nie mogą wykazać się przewagą nad algorytmami klasycznymi. Niestety nie rozumiemy dobrze przyczyn i dlatego nie wiemy, jak dostosować algorytm, aby wykorzystać jego pełny potencjał. Dlatego często pojawia się uwikłanie przy wprowadzaniu obliczeń kwantowych, ale niewiele później. Z tego powodu wyjaśnimy, czym jest uwikłanie w tej sekcji. Mam nadzieję, że jesteś naukowcem, aby złamać tajemnicę.

Rozważ superpozycję 2-kubitów.

gdzie | 10> oznacza, że ​​dwie cząstki znajdują się odpowiednio w spinie w dół i spinie w górę.

Rozważ następujący stan złożony:

Czy możemy podzielić stan złożony z powrotem na dwa pojedyncze stany, takie jak:

Nie możemy, ponieważ wymaga:

Mechanika kwantowa demonstruje jedną nieintuicyjną koncepcję. Uważamy, że w mechanice klasycznej zrozumienie całego systemu można osiągnąć, dobrze rozumiejąc każdy podskładnik. Ale w mechanice kwantowej

Jak pokazano wcześniej, możemy modelować stan złożony i doskonale wykonywać przewidywania pomiarów.

Nie możemy jednak opisać ani zrozumieć tego jako dwóch niezależnych elementów.

Wyobrażam sobie ten scenariusz jako para małżeńska od 50 lat. Zawsze będą się zgadzać, co robić, ale nie można znaleźć odpowiedzi, gdy traktuje się je jako osobne osoby. To jest zbyt uproszczony scenariusz. Istnieje wiele możliwych stanów splątania

i znacznie trudniej będzie je opisać, gdy wzrośnie liczba kubitów. Podczas wykonywania operacji kwantowych wiemy, w jaki sposób komponenty są skorelowane (splątane). Ale przed każdym pomiarem dokładne wartości pozostają otwarte. Splątanie wytwarza korelacje, które są znacznie bogatsze i prawdopodobnie znacznie trudniejsze dla klasycznego algorytmu do skutecznego naśladowania.

Kolejny

Teraz wiemy, jak manipulować kubitami za pomocą operacji jednostkowych. Ale dla zainteresowanych algorytmami kwantowymi powinniśmy najpierw wiedzieć, jakie jest ograniczenie. W przeciwnym razie możesz przeoczyć trudne rzeczy w obliczeniach kwantowych. Ale dla tych, którzy chcą dowiedzieć się więcej o bramie kwantowej, możesz przeczytać drugi artykuł przed pierwszym.