10 niezręcznych momentów w historii matematyki

Wszyscy doświadczyliśmy naszych niezręcznych chwil. Dzieje się coś nieoczekiwanego, jest czas społeczny i niepokój osobisty i naprawdę chciałbyś się z tym pogodzić lub zapomnieć, że to się kiedykolwiek wydarzyło. Ale co jeśli jesteś rygorystycznym matematykiem i właśnie obaliłeś swój świat?

Matematyka zawsze polegała na dążeniu do zrozumienia świata poprzez logikę i wyrażania go w ściśle określonym, matematycznym języku. Obserwowanie matematyki, gdy przestała (chwilowo) mieć sens, jest naprawdę pouczające, pouczające i zabawne.

1. Odkrycie liczb niewymiernych

Szkoła Ateńska, przedstawiająca, wśród niemal każdego starożytnego greckiego filozofa, Pitagorasa w lewym rogu

Ponieważ początki rygorów matematycznych leżą w starożytnej Grecji, myśl matematyczna zaczęła się zbliżać do wierzeń religijnych, dlatego też liczbom przypisywano boskie cechy.

Szkoła Pitagorasa, okultystyczny zespół wczesnych matematyków, który, jak wszystkie kulty, popychał wiedzę matematyczną do przodu, opierał się na pewnych fundamentalistycznych przekonaniach. Zaskoczeni stosowalnością współczynników do każdego praktycznego problemu, wierzyli, że stosunki (tak, proste liczby podzielone) są boskie, ponieważ mogą wyjaśnić wszystko, co dzieje się na świecie.

W związku z tym wszystko, co dzieje się na świecie, powinno być wyrażane jako stosunek, prawda?

Teraz wyobraźcie sobie ich zaskoczenie, gdy odkryli pierwiastek kwadratowy z 2, stosując jednocześnie nowo sformułowane twierdzenie Pitagorasa. Ta nieracjonalna liczba (irracjonalna, co oznacza, że ​​nie może być wyrażona jako stosunek dwóch liczb) przeciwstawiła się porządkowi świata wyrażonemu przez boskość stosunków i zakwestionowała całą ich filozofię.

Przerażeni konsekwencjami tego rewolucyjnego odkrycia postanowili nikomu o tym nie mówić. Mówi się także, że utopili nawet człowieka, który dokonał odkrycia, Hippasa. Ciche naukowe, nie sądzisz?

2. Nieskończoność

Odkrycie nieracjonalnych liczb, które już były złe, spowodowało, że Grecy stanęli przed bardziej przerażającym odkryciem: nieskończonością. Ponieważ liczby nieracjonalne charakteryzują się nieskończoną liczbą cyfr dziesiętnych, Grecy musieli wyjaśnić, w jaki sposób można stworzyć niekończącą się serię liczb. Pojęcie nieskończoności jest dziś trudne do zrozumienia, nie mówiąc już o epoce, w której religia była związana z nauką, a wiara matematyczna nie powinna podważać naszego rozumienia Boga. Co więc zrobili Grecy? Filozofowie, podobnie jak Arystoteles i Platon, odrzucili pojęcie absolutnej nieskończoności, a matematycy wymyślili pomysłowe sposoby obejścia potrzeby nieskończoności w geometrii, jak Eudoxus z Cnidus, który opracował metodę wyczerpania do obliczania powierzchni kształtów. Dopiero pod koniec XVII wieku Newton i Leibniz zachęcali do wzięcia pod uwagę nieskończoności poprzez użycie nieskończenie małych, a John Wallis wprowadził znany symbol nieskończoności w 1655 r.

3. Paradoksy Zenona

Grecy z pewnością popadli w skrajność, jeśli chodzi o rozumowanie filozoficzne.

Po tym, jak jego poprzednik Heraklit twierdził, że wszystko na świecie ciągle się zmienia, Parmenides stwierdził, że nic się nie zmienia. W rezultacie ruch jest jedynie iluzją, a zatem, używając matematyki, języka prawdy według Greków, opisanie go powinno być niemożliwe.

Zeno, jeden ze studentów Parmenidesa, opracował serię paradoksów, których celem jest udowodnienie irracjonalności ruchu. Najsłynniejszy, Achilles i jego żółw, wygląda następująco: Achilles ściga się z żółwiem, który, będąc znacznie wolniejszym, ma tę zaletę, że rozpoczyna wyścig na 100 metrów przed nim.

Jeśli dla wstrząsu prostoty założymy, że prędkości dwóch zawodników są stałe, a Achilles jest 10 razy szybszy niż żółw, to możemy powiedzieć, że kiedy Achilles osiągnie punkt początkowy żółwia, będzie on przebiegał 10 metrów. Tak więc Achilles spróbuje nadrobić zaległości i zanim dotrze do następnego punktu, żółw przesunął się o dodatkowy metr.

Ten licealny problem matematyczny, choć tak prosty i jasny, prowadzi nas do następującego paradoksalnego wniosku: Achilles nigdy nie dosięgnie żółwia, bez względu na to, jak szybki jest. Gratulacje Zeno, spowodowałeś, że ruch brzmiał nielogicznie.

Wierzono, że paradoksy Zenona istnieją w sferze metafizyki i niepokojących filozofów i matematyków od wieków, ale dziś można je wyjaśnić rachunkiem różniczkowym, matematycznym narzędziem, którego Grecy nie posiadali. Przejdźmy więc dalej.

4. Pasek Möbius

Zrób to sam pasek Möbius

Zabawnie wyglądający pasek Möbiusa, który został również niezależnie odkryty w 1858 r. Przez nieszczęśliwego Listinga, którego nazwa pozostawiła nietkniętą historię matematyki, jest powierzchnią z tylko jedną stroną i tylko jedną granicą, często używaną do układania puzzli wśród młodych studentów matematyki.

Możesz go łatwo utworzyć, biorąc pasek papieru, skręcając go, a następnie łącząc końce paska.

Będąc pierwszym przykładem powierzchni bez orientacji, nie wstrząsnęła ona podstawami matematyki tak bardzo, jak inne odkrycia z tej listy, ale zapewniła wiele praktycznych zastosowań, takich jak odporny pas, i zainspirowała matematyków do wymyślenia nieorientowane powierzchnie, takie jak butelka Klein. (Nazwa tej powierzchni prawdopodobnie pochodzi od podwójnego przypadku: jej pomysłodawca Klein pierwotnie nazwał ją Fläche, co oznacza powierzchnię w języku niemieckim i brzmi podobnie do Flasche, co oznacza butelkę. Fakt, że wyglądała również jak butelka, wydaje się mieć zapieczętował zmianę nazwy).

5. Niepoliczalność Cantora liczb rzeczywistych

Radząc sobie z nieskończonością już będąc oporem, Cantor udowodnił w 1874 r., Że w rzeczywistości istnieją różne rodzaje nieskończoności. W szczególności, dowodząc niepoliczalności liczb rzeczywistych, Cantor udowodnił, że ten zbiór jest większy niż i tak już nieskończony zbiór liczb naturalnych.

W 1891 r. Przedstawił również przekątny argument, jeden dowód tak elegancki, że został później przyjęty jako narzędzie do udowodnienia za pomocą paradoksu. Ta uwaga zrodziła teorię liczb głównych, a także paradoksy dotyczące pytania: ile nieskończoności sobie poradzisz?

6. Paradoks Russella

Bertrand Russell był matematykiem, filozofem, logikiem, matematykiem, historykiem, pisarzem, krytykiem społecznym, działaczem politycznym i, moim zdaniem, osobowością, którą warto studiować i inspirować.

W 1901 r. Russell odkrył słaby punkt w dotychczasowej teorii mnogości Cantora, co doprowadziło go do sprzeczności, której świat matematyki nie mógł nadzorować. Zgodnie z tą teorią każdy zbiór rzeczy może być zbiorem.

Sprzeczny przykład Russella, zwany także paradoksem Barbera, brzmi następująco: wyobraź sobie miasto, które ma specjalną zasadę; każdy człowiek, który nie jest ogolony, musi zostać ogolony przez fryzjera miejskiego. Niezręczne pytanie, na które możesz spróbować sobie odpowiedzieć, brzmi: kto goli fryzjera?

Odkrycie to doprowadziło go do zakwestionowania samych podstaw poprzedniej teorii mnogości i stworzenia nowej, która była bardziej skomplikowana niż później zaproponowana teoria mnogości Zermelo-Fraenkela, nie nadrobiła zaległości.

7. Twierdzenia o niekompletności Gödla

Kurt Gödel, logik, matematyk i filozof, który wstrząsnął podstawami matematyki i logiki w XIX wieku.

Jeśli poprzednie wydarzenia wydawały się nieco niewygodne, poczekaj na kolejnego niezręcznego żółwia (i to gorzej niż w przypadku Achillesa).

Mówimy o XX wieku. Ludzie nie tylko chcieli wiedzieć. Chcieli wiedzieć, czy można to wiedzieć i udowodnić. Na ich nieszczęście i ludzką potrzebę zrozumienia wszechświata Gödel opublikował w 1931 r. Dwa twierdzenia, znane jako twierdzenia o niekompletności.

Wyjaśnienie ich technicznych aspektów jest tak trudne, jak pogodzenie się z ich wnioskami, ponieważ Gödel udowodnił, że biorąc pod uwagę spójny i kompletny system, taki jak język arytmetyki, istnieją stwierdzenia, które są zarówno prawdziwe, jak i niemożliwe do udowodnienia. Prawdę swojego twierdzenia zilustrował prostym stwierdzeniem, zainspirowanym paradoksem kłamcy: „Nie można udowodnić tego stwierdzenia”. Jeśli to prawda, to stwierdzenie jest prawdziwe i nie można tego udowodnić. Jeśli jest to nieprawda, to stwierdzenie to można udowodnić, co jest sprzeczne z pierwotnym argumentem, że nie można tego udowodnić.

Były to bardzo złe wieści dla matematyki, pozbawiające ich pierwotnego spojrzenia wyjaśniania absolutnej prawdy. Był to również okropny powrót do poszukiwania wiedzy przez Hilberta, wyrażony w oświadczeniu „Musimy wiedzieć, będziemy wiedzieć”.

8. Twierdzenie o nieokreśloności Tarskiego

Wygląda na to, że Tarski został zainspirowany rozpaczą stworzoną przez Gödela. W 1936 r. Przedstawił dowód na problem nieokreślalności.

Chociaż spostrzeżenia poczynione przez Tarskiego są również zawarte w twórczości Gödela, argumentuje się, że twórczość Tarskiego ma głębszy wpływ filozoficzny. Tarski doszedł do ogólnego wniosku, że język nie może sam w sobie zdefiniować prawdy. Chociaż jest to ważne ograniczenie, sugeruje on, że użycie mocniejszego metajęzyka wystarcza do zdefiniowania prawdy w prostszym języku.

Teraz zwykły człowiek może pomyśleć, że to rozwiązuje problem, ale dla matematyka szukającego „jednego języka, który rządzi nimi wszystkimi”, nie jest to pocieszające.

9. Problem zatrzymania

Alan Turing próbował rozwiązać problem decyzyjny, który w prostych słowach polegał na znalezieniu algorytmu, który mógłby odpowiedzieć, czy stwierdzenie jest prawdziwe, czy nie. Aby poradzić sobie z tym koncepcyjnie prostym, ale trudnym do rozwiązania problemem, przeformułował go na problem zatrzymania: czy istnieje maszyna, która może powiedzieć, czy program zatrzyma się na danym problemie?

Zatrzymanie oznacza, że ​​nie zapętla się na zawsze. Ale w jaki sposób udowodnić, że maszyna jest tak mało znana? Tu przydają się paradoksy.

Alan Turing zaczął od założenia, że ​​istnieje maszyna, która ma program wejściowy, a problem odpowiada na pytanie, czy się zatrzyma, czy nie. Następnie ulepszył tę maszynę, zapętlając jej wyjście z powrotem do siebie, jeśli odpowiedź brzmiała „tak”, i zatrzymując się, jeśli odpowiedź brzmiała „nie”.

Czy więc rozszerzona maszyna zatrzyma się na problemie zatrzymania? Alan odpowiada: jeśli tak, to nie, jeśli nie, to tak. Brzmi jak zła wiadomość dla logiki.

10. Twierdzenie o braku darmowego lunchu

Przejście do XXI wieku oznaczało przejście od czystej, niemal filozoficznej matematyki, do obszarów zastosowania, takich jak statystyka i optymalizacja.

Jeśli uważasz, że lubisz optymalizację, czy nie uważasz, że dzięki temu staniesz się perfekcjonistą? I czy perfekcjonista nie chciałby znaleźć optymalnego sposobu optymalizacji rzeczy?

Wygląda na to, że David Wolpert i William Macready wyczuli tę potrzebę i znaleźli odpowiedź, która oczywiście nie była zachęcająca (inaczej nie byłoby jej na naszej liście). Zgodnie z ich twierdzeniem o braku darmowego lunchu dla optymalizacji, opublikowanym w 1997 r., „Dowolne dwa algorytmy optymalizacji są równoważne, gdy ich wydajność jest uśredniana dla wszystkich możliwych problemów”.

Może to być bolesne, nie oznacza to, że optymalizacja jest daremna. Po prostu nigdy nie znajdziemy ogólnie optymalnego sposobu na zrobienie tego.

Te chwile sprawiły, że świat matematyki czuł się niezręcznie, co jest lekkim terminem określającym uczucia rozpaczy i chaosu, których naukowcy doświadczają, gdy wszechświat przestaje mieć sens. Ale szok jest sposobem na rozwój nauki.

Stworzono pola matematyczne, otrzymaliśmy Maszynę Turinga, fantazyjnie wyglądające powierzchnie i, co najważniejsze, możliwość ponownego zbadania naszych spostrzeżeń i odpowiedniego dostosowania naszych narzędzi.

Te momenty zadawania pytań pomogły nam ewoluować intelektualnie.

Z wyjątkiem twierdzeń o niekompletności. To były po prostu druzgocące.