∞⁰ = ∞, 1 lub niezdefiniowany. Który to jest?

Kilka dni temu napisałem artykuł o podsumowaniu Ramanujana, który w skrócie jest serią matematyczną, która wygląda mniej więcej tak:

Jeśli chcesz przeczytać artykuł, kliknij tutaj. Udowadniam ten fakt w artykule wraz z dwoma innymi równie interesującymi równaniami. Właśnie tam wpadłem na pomysł tego samego artykułu. Po opublikowaniu podsumowania z Ramanujan otrzymałem komentarz na temat korzystania z komutatywności nieskończenie licznego zestawu. Komutatywność to idea, że ​​jeśli masz 1 + 2 + 3, zmiana kolejności warunków nie zmienia wyniku. Tak więc 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, możesz, ale wyrażenia w dowolnej kolejności, a odpowiedź zawsze będzie wynosić 6. Korzystam z tej właściwości, aby udowodnić powyższe równanie w moim innym artykule, ale forceOfHabit przywołał ciekawe punkt, czy to dotyczy nieskończonego zestawu liczb?

„Intuicyjnie widać, że liczba dodatnia jest dwa razy większa niż liczba dodatnia. Ale jeśli weźmiemy ciąg dodatnich liczb całkowitych i pomnożymy je wszystkie przez 2, otrzymamy ciąg nawet dodatnich liczb całkowitych. Ale pomnożenie każdego członka sekwencji przez 2 nie zmienia liczby członków. Jest więc dokładnie tyle samo liczb całkowitych dodatnich, co nawet liczb całkowitych dodatnich. Więc co to jest? Dwa razy tyle czy ta sama liczba? - forceOfHabit

I szczerze mówiąc, nie znałem odpowiedzi na to. Ale wzbudziło moje zainteresowanie, więc postanowiłem zbadać to trochę więcej. Przeszukałem tunel czasoprzestrzenny Wikipedii przez różne gałęzie matematyki, po drodze poznałem kilka interesujących faktów i skończyłem na liczności. Kardynalność zajmuje się zestawami i jest sposobem opisania liczby elementów w zestawie. Na przykład zestaw {1,2,3} ma 3 elementy lub liczność 3.

Korzystając z liczności, możemy zacząć opanowywać powyższe pytania. Poszukałem trochę dalej i znalazłem interesującą część liczności zwaną Cardinal Arithmetic, które są operacjami arytmetycznymi, które można wykonać na liczbach kardynalnych, które uogólniają zwykłe operacje na liczbach naturalnych. Mówiąc w kategoriach lamów, są one specjalnym zestawem operacji, które działają specjalnie dla liczb kardynalnych, każda z własną definicją. Na przykład, jeśli masz dwa zestawy A i B z odpowiednio licznościami 3 i 4, oznaczamy to jako | A | = 3 i | B | = 4. Zatem | A | + | B | = | A ∪ B |. Oczywiście jest to to samo, co dodanie wartości liczbowych | A | oraz | B | fakt, że jest on zdefiniowany w ten sposób, pokazuje, jak istnieją operacje arytmetyczne, które można utworzyć dla określonych zbiorów (pod warunkiem, że operacja spełnia określone kryteria).

Stosując arytmetykę kardynalną udowodniono nie tylko, że liczba punktów w rzeczywistej linii liczbowej jest równa liczbie punktów w dowolnym segmencie tej linii. Brzmi to bardzo intuicyjnie, ale z drugiej strony, podobnie jak powyższe pytanie, dlatego lubię myśleć, że są do siebie podobne. Oczywiście nie jest to w żaden sposób formalny ani nawet ważny dowód, ale sądzę, że jeśli weźmiesz je pod uwagę w tym samym znaczeniu, to odpowiedzią na pytanie forceOfHabit jest opcja b; ta sama liczba liczb całkowitych.

Ale z drugiej strony mogę się całkowicie mylić, i to jest zakłopotanie nieskończonością. Jest tyle rzeczy, o których nie wiadomo, ponieważ jest to tylko koncepcja. Nie ma sposobu, aby zmierzyć nieskończoność, ponieważ z definicji jest ona nie do zmierzenia, a sama w sobie jest trudnym pomysłem na obejście głowy. Myślę, że profesor matematyki z pierwszego roku dość dobrze podsumował nieskończoność: „Nienawidzę nieskończoności. To nie jest liczba, ale traktujemy ją jak jedną, ale nie powinniśmy. To koncepcja, a nie wartość matematyczna, więc jeśli ktoś z was tak ją wykorzysta, równie dobrze możecie rzucić kurs! ”

Teraz moja ulubiona liczba na całym świecie. Pytasz kogoś, jaki jest jego ulubiony numer (oczywiście po skończonej pogawędce o pogodzie, oczywiście), a on prawdopodobnie powie coś związanego z urodzinami lub szczęśliwą liczbą, w którą wierzą. Ale zapytaj mnie, a powiem ci 0. To nie jest szczęśliwa liczba, ani urodziny, ani rocznica, ale jest to dla mnie najbardziej interesujące.

Na początek ma wartość, ale nie ma wartości. Jeśli dodasz go do innego numeru, pozostanie taki sam. Odejmij, pozostanie bez zmian. Ale kiedy go pomnożysz, otrzymasz 0, bez względu na to, przez co pomnożysz.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

A kiedy go podzielisz, otrzymujesz 0 bez względu na to, jaki mianownik to (liczba taktu 1, bądź na bieżąco). 0/1234 jest wciąż zerowe

Ale kiedy nurkujesz do zera, dostajesz naprawdę szalone rzeczy. Mówię, że zwariowałem unikając pocisków na poziomie matrycy. Każdy, kto wziął lekcję algebry, wie, że nie możemy podzielić przez zero, ponieważ jest ona niezdefiniowana. Klasyfikujemy to jako niezdefiniowane, ponieważ jeśli próbujesz podzielić 6 przez zero, analogicznie jest zadać pytanie „Jaka liczba razy 0 równa się sześć?” Wiemy, że nie istnieje żadna liczba, która by to spełniała, więc dzielenie przez zero nie jest zgodne z normalnymi zasadami podziału. Dlatego pomijamy to. Ale jeśli na chwilę zapomnimy o tej zasadzie, dzielenie przez zero może stać się bardzo fajnym narzędziem do „udowodnienia” całkowicie niedorzecznych rzeczy. Na przykład:

Niech a = b. Następnie
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # Tutaj pojawia się magiczny krok
2 = 1

Proszę bardzo, właśnie udowodniłem, że 2 = 1 i złamałem matematykę! Powodem tego jest magiczny krok dzielący obie strony przez a² - ab, ale jeśli spojrzysz na oryginalne zdanie, a = b, więc a² = ab, innymi słowy a² - ab = 0. To jest dzielenie przez zero, które jest nieokreślone z tego właśnie powodu. Dlatego matematycy unikają tego jak zarazy.

Na szczęście jest to właściwie trzecia opcja. Mógłbym przejść przez to, że kiedy jest w formie limitu, jest to forma nieokreślona, ​​ale myślę, że dobrze znany przyjaciel z Apple najlepiej to opisuje:

„Wyobraź sobie, że masz 0 plików cookie i dzielisz je równomiernie między 0 znajomych. Ile plików cookie otrzymuje każda osoba? Widzisz, to nie ma sensu. A Cookie Monster jest smutne, że nie ma ciasteczek. I jesteś smutny, że nie masz przyjaciół. ” - Siri (naprawdę, spróbuj zapytać Siri „co to 0 podzielone przez 0?”)

Bardziej skomplikowane pytanie dotyczące zera, co to jest 0⁰? Z definicji, jeśli masz potęgę b, wynik byłby pomnożony przez b liczbę razy. Więc to musi być zero, prawda? Ponieważ dowolna liczba pomnożona przez zero wynosi zero. Ale wiemy również, że a⁰ = 1 (dla wszystkich ≠ 0), więc może powinno to być 1? A może powinien być niezdefiniowany jak dzielenie przez 0? Od dawna jest to przedmiotem dyskusji w matematyce i obie strony argumentują, jaka powinna być prawdziwa odpowiedź. Jest tutaj ciekawa strona internetowa, która podaje argumenty dla obu stron, ale główne są następujące: Na 0⁰ powinna być strona niezdefiniowana, mamy:

  1. Znamy a⁰ = 1 (dla wszystkich ≠ 0), ale a⁰ = 1 (dla wszystkich a> 0). Ta sprzeczność oznacza, że ​​0⁰ powinno być niezdefiniowane

Po stronie 0⁰ = 1 mamy:

  1. Aby twierdzenie dwumianowe mogło zostać przyjęte dla x = 0, potrzebujemy 0⁰ = 1
  2. 0⁰ oznacza pusty produkt (liczbę zestawów 0 elementów, które można wybrać z zestawu 0 elementów), który z definicji wynosi 1 (jest to również ten sam powód, dla którego cokolwiek innego podniesionego do potęgi 0 wynosi 1).

Więc jaka jest odpowiedź? Nadal nie mamy konkretnej odpowiedzi. Większość ludzi zgodzi się, że jest nieokreślony (ponieważ x ^ y jako funkcja dwóch zmiennych nie jest ciągła u początku). Ale obie strony mają uzasadnione argumenty i dopóki ktoś nie wymyśli konkretnego dowodu, twierdząc, że jedno lub drugie, twierdzenie, czy jedna z nich jest prawdziwa, jest naprawdę niemożliwe.

Teraz możesz się zastanawiać, co się stanie, jeśli połączysz oba te elementy. Co to jest ∞ x 0? Co powiesz na ∞⁰? Problem wraca do nieskończoności, ponieważ jest to tylko koncepcja. Nie ma sposobu, aby to zmierzyć, nie możesz mieć nieskończonej liczby gumowatych niedźwiedzi lub nieskończonej ilości lodów (choć jestem pewien, że wszyscy chcielibyśmy, abyśmy mogli).

Przez większość czasu odpowiedź jest niezdefiniowana. Są to wszystkie przykłady pytań, na które nie ma odpowiedzi, ponieważ nie możemy nadać znaczącej wartości koncepcji takiej jak nieskończoność. Oczywiście istnieje nieparzysty wyjątek, na przykład 0 ^ ∞, który ma rodzaj wartości 0. Jeśli weźmiesz limit 0 ^ n, gdy n dąży do nieskończoności, wynosi zero. Ale są to rzadkie przypadki i nawet wtedy 0 ^ technic nadal technicznie nie jest równe 0, po prostu bardzo się do niego zbliża.

Widzicie więc, nieskończoność jest bardzo interesującą rzeczą, ponieważ jest tak namacalna i tak abstrakcyjna jednocześnie. Cały czas widzisz to w podręcznikach matematycznych i równaniach, ale wciąż nie mamy konkretnej definicji ani wartości tego, co to jest.

Zero jest po prostu niesamowite, ponieważ robi to po swojemu. Czasami lubi grać według zasad, czasem robi to po swojemu, a czasem zamyka się w pokoju i nie chce z nikim współpracować.

Oba mają swoje cechy odkupienia, które są bardzo przydatne w dziedzinie matematyki. Mają też własne dziwactwa, które mogą być użyteczne i czasami, i ból w tyłku u innych. Ale chociaż jest to tylko jeden z faktów z życia, jest to zakłopotanie nieskończoności i zera.